Tablas para el Diseño de Losas Macizas y Nervadas Rectangulares Sustentadas Perimetralmente en Vigas

Existen tablas para el diseño de losas, desarrolladas por diferentes autores, que facilitan el análisis y el diseño de las losas de geometrías y estados de carga más comunes, basadas en la mayor parte de los casos en la Teoría de Placas.Se han preparado, para esta publicación, tablas para el diseño de losas sustentadas perimetralmente en vigas de mayor peralte que las losas (de este modo nos aseguramos que las deflexiones en las vigas no tienen gran influencia sobre el comportamiento de las losas), sometidas a cargas uniformemente distribuidas. El tipo de sustentación está definido por las condiciones de borde de las losas.Para el modelamiento de las losas macizas se ha utilizado el Método de los Elementos Finitos basado en la Teoría de Placas, el mismo que se recomienda para analizar losas macizas de geometrías, estados de carga o condiciones de borde especiales, que no aparezcan en las tablas. Otra alternativa de análisis podría ser el uso del Método de las Diferencias Finitas.Para modelar las losas nervadas se ha utilizado el Análisis Matricial de Estructuras tradicional, para estructuras conformadas por barras rectas espaciales bajo la hipótesis de que el efecto de flexión es dominante sobre las deformaciones de cortante y torsión.Las tablas para losas nervadas constituyen una novedad importante con respecto a otras publicaciones similares. Las deformaciones y los momentos flectores que se obtienen en el modelo de losas nervadas son generalmente mayores que los valores obtenidos en losas macizas, debido a que los momentos torsores en las placas se transforman en momentos flectores en los nervios.

En las tablas publicadas a continuación se presentan tres tipos genéricos de condiciones de borde:

El empotramiento se lo emplea para modelar la continuidad de la losa en el borde seleccionado, usualmente proporcionada por otra losa contigua de dimensiones comparables, proporcionada por un muro extremo integrado a la losa como los que se tienen en los subsuelos de las edificaciones, o proporcionada por una viga de borde de gran rigidez torsional (de gran sección y dimensiones transversales).

El apoyo con rotación alrededor de un eje se utiliza para modelar la presencia de una viga de borde de dimensiones normales (de peralte mayor al de la losa, pero no una viga de gran peralte ni una viga de gran sección transversal) sin losa contigua, o para modelar la presencia de un muro no integrado a la losa (usualmente muros de otro material).

El borde libre modela la inexistencia de una viga de borde de mayor peralte que la losa, la inexistencia de una losa contigua, o la inexistencia de un muro integrado a la losa.

Los 18 modelos diferentes de losas macizas que aparecen en las tablas de esta publicación, son:



Es importante notar que, dependiendo de las diferentes condiciones de borde, es posible que algunos modelos de losas carezcan de determinados tipos de momentos flectores (fundamentalmente los momentos flectores negativos de apoyo cuando es posible la rotación alrededor de la línea de apoyo).
En otros casos, es necesario definir dos momentos flectores del mismo tipo para describir su variabilidad a lo largo de la losa (dos momentos flectores positivos y dos momentos flectores negativos en los bordes sustentados, en losas con un borde en voladizo).
Los 18 modelos diferentes de losas nervadas que aparecen en las tablas de esta publicación, son:

Mediante los coeficientes adimensionales de las tablas (d , m), se pueden calcular la defexión máxima de la losa (D ), y los momentos flectores positivos y negativos máximos (M) en las dos direcciones, por unidad de ancho de la losa.
Si se toma el tercer modelo de losa nervada, con una relación lado corto / lado largo de 0.70, la estructura idealizada sería:

La elástica de deformación producida por una carga uniformemente distribuida que actúe sobre toda la superficie de la losa anterior tendría la siguiente geometría:

Por su parte, la distribución cualitativa de los momentos flectores, en las 2 direcciones principales de la losa del ejemplo anterior, para el estado de cargas antes mencionado sería similar a la siguiente:


Debe observarse que, mientras la geometría (no la magnitud) del diagrama de momentos flectores en la dirección corta es muy similar al diagrama de momentos en vigas, la geometría del diagrama de momentos flectores en la dirección larga tiende a alargarse y a disminuir en su magnitud en la zona central de momentos flectores positivos. Las ordenadas de los diagramas de momentos en losas son generalmente menores a las existentes en vigas con el mismo estado de cargas, debido a la distribución de las cargas en dos direcciones.
Para relaciones lado corto / lado largo inferiores a 0.70 hay una tendencia clara a la aparición de 2 momentos flectores máximos positivos en la dirección larga, uno cercano a cada borde. Los momentos flectores positivos son pequeños en la zona central. Este último hecho debe ser tomado con mucho cuidado pues al utilizar cargas uniformemente distribuidas que actúen sólo en ciertos sectores de la superficie de las losas, estos momentos flectores máximos positivos se desplazan de las zonas cercanas a los bordes hacia las zonas centrales, por lo que es necesario trabajar con una envolvente de momentos flectores. Para el ejemplo anterior, la envolvente de momentos flectores en la dirección larga sería similar a la siguiente:

Si bien es cierto que los momentos flectores que se producen en las zonas esquineras son menores que los momentos flectores en las zonas alejadas de las esquinas, es recomendable que su armado (léase su capacidad resistente) sea similar a aquel calculado para las zonas alejadas de las esquinas, debido a la presencia de momentos torsores y deformación torsionante en las esquinas.
Los momentos torsores en la losa son generalmente de un orden de magnitud inferior a los momentos flectores, por lo que usualmente no requieren de diseño especial, siempre que se emplee la recomendación anterior. En el caso de las losas nervadas, adicionalmente a la recomendación de armado esquinero, debe cuidarse de que el ancho de los nervios cerca a las esquinas sea al menos la quinta parte de la dimensión correspondiente de los alivianamientos, para que tengan una rigidez torsional apropiada
A continuación se presenta la distribución cualitativa de los diagramas de momentos torsores de los nervios de la losa utilizada como ejemplo, independizando las barras orientadas en la dirección y, de las barras orientadas en la dirección x:


Si en lugar de utilizar el tercer modelo para losas nervadas, se empleara el tercer modelo para losas macizas, la geometría del perfil de momentos flectores alrededor del eje x sería:

La geometría del perfil de momentos flectores alrededor del eje y sería:

Si se toma el décimo modelo de losa nervada (tiene un borde libre y los otros tres bordes empotrados), con una relación lado corto / lado largo de 0.80, la estructura idealizada sería:



La distribución cualitativa de los momentos flectores, en las 2 direcciones principales de la losa del ejemplo, para una carga uniformemente distribuida sobre toda la superficie sería similar a la siguiente:

Debe observarse que los momentos flectores entre bordes sustentados a la altura del borde libre son mucho más altos que los momentos flectores correspondientes en la zona central, lo que debe reflejarse en las tablas de diseño.

TABLAS PARA DISEÑO DE LOSAS MACIZAS RECTANGULARES SUSTENTADAS PERIMETRALMENTE, SOMETIDAS A CARGAS DISTRIBUIDAS UNIFORMES

(m = 0.20)

Losa	Fórmula	Coef.	Lx / Ly
			1.00	0.90	0.80	0.70	0.60	0.50
	D = 0.0001 d .Lx2 / (E.h3) My- = 0.0001 q.m y- .Lx2 My+ = 0.0001 q.m y+ .Lx2 Mx- = 0.0001 q.m x- .Lx2 Mx+ = 0.0001 q.m x+ .Lx2	d m y- m y+ m x- m x+	147 512 214 512 214	178 587 257 538 214	211 664 303 556 214	244 736 347 563 214	273 794 386 563 214	293 829 411 563 214
	D = 0.0001 d .Lx2 / (E.h3) My- = 0.0001 q.m y- .Lx2 My+ = 0.0001 q.m y+ .Lx2 Mx- = 0.0001 q.m x- .Lx2 Mx+ = 0.0001 q.m x+ .Lx2	d m y- m y+ m x- m x+	186 549 225 611 269	239 652 286 669 282	304 772 359 721 287	379 903 443 762 287	460 1030 532 788 287	536 1150 613 795 287
	D = 0.0001 d .Lx2 / (E.h3) My- = 0.0001 q.m y- .Lx2 My+ = 0.0001 q.m y+ .Lx2 Mx- = 0.0001 q.m x- .Lx2 Mx+ = 0.0001 q.m x+ .Lx2	d m y- m y+ m x- m x+	186 611 269 549 225	213 673 306 561 225	241 732 343 566 225	266 782 376 566 225	286 819 402 566 225	298 838 418 566 225
	D = 0.0001 d .Lx2 / (E.h3) My+ = 0.0001 q.m y+ .Lx2 Mx- = 0.0001 q.m x- .Lx2 Mx+ = 0.0001 q.m x+ .Lx2	d m y+ m x- m x+	222 217 697 319	301 287 795 353	410 382 900 385	557 508 1010 408	748 666 1100 414	976 850 1180 414
	D = 0.0001 d .Lx2 / (E.h3) My- = 0.0001 q.m y- .Lx2 My+ = 0.0001 q.m y+ .Lx2 Mx+ = 0.0001 q.m x+ .Lx2	d m y- m y+ m x+	222 697 319 217	243 742 348 217	264 781 374 217	281 813 397 217	294 834 413 217	301 842 422 217

TABLAS PARA DISEÑO DE LOSAS MACIZAS RECTANGULARES SUSTENTADAS PERIMETRALMENTE, SOMETIDAS A CARGAS DISTRIBUIDAS UNIFORMES

(m = 0.20)

Losa	Fórmula	Coef.	Lx / Ly
			1.00	0.90	0.80	0.70	0.60	0.50
	D = 0.0001 d .Lx2 / (E.h3) My- = 0.0001 q.m y- .Lx2 My+ = 0.0001 q.m y+ .Lx2 Mx- = 0.0001 q.m x- .Lx2 Mx+ = 0.0001 q.m x+ .Lx2	d m y- m y+ m x- m x+	254 691 306 691 306	309 791 367 731 306	371 897 435 764 306	438 1010 508 786 306	504 1100 579 797 306	561 1180 641 797 306
	D = 0.0001 d .Lx2 / (E.h3) My- = 0.0001 q.m y- .Lx2 My+ = 0.0001 q.m y+ .Lx2 Mx+ = 0.0001 q.m x+ .Lx2	d m y- m y+ m x+	329 836 391 318	380 920 446 318	433 1000 504 318	487 1090 562 318	538 1160 617 318	581 1210 661 318
	D = 0.0001 d .Lx2 / (E.h3) My+ = 0.0001 q.m y+ .Lx2 Mx- = 0.0001 q.m x- .Lx2 Mx+ = 0.0001 q.m x+ .Lx2	d m y+ m x- m x+	329 318 836 391	424 400 923 414	546 502 1010 430	698 628 1090 433	879 774 1160 433	1079 932 1200 433
	D = 0.0001 d .Lx2 / (E.h3) My+ = 0.0001 q.m y+ .Lx2 Mx+ = 0.0001 q.m x+ .Lx2	d m y+ m x+	468 443 443	571 528 449	694 629 449	838 744 449	999 871 449	1167 1000 449
	D = 0.0001 d .Lx2 / (E.h3) My- = 0.0001 q.m y- .Lx2 My+ = 0.0001 q.m y+ .Lx2 Mx- = 0.0001 q.m x- .Lx2 Mxb- = 0.0001 q.m x- .Lx2 Mx+ = 0.0001 q.m x+ .Lx2 Mxb+ = 0.0001 q.m x+ .Lx2	d m y- m y+ m x- m xb- m x+ m xb+	324 562 143 696 909 330 434	487 692 170 805 1120 377 524	757 872 202 936 1390 429 635	1216 1130 237 1090 1750 483 767	2018 1500 269 1260 2230 531 910	3421 2060 281 1450 2810 531 1030

TABLAS PARA DISEÑO DE LOSAS MACIZAS RECTANGULARES SUSTENTADAS PERIMETRALMENTE, SOMETIDAS A CARGAS DISTRIBUIDAS UNIFORMES

(m = 0.20)

Losa	Fórmula	Coef.	Lx / Ly
			1.00	0.90	0.80	0.70	0.60	0.50
	D = 0.0001 d .Lx2 / (E.h3) My- = 0.0001 q.m y- .Lx2 Myb- = 0.0001 q.m y- .Lx2 My+ = 0.0001 q.m y+ .Lx2 Myb+ = 0.0001 q.m yb+ .Lx2 Mx- = 0.0001 q.m x- .Lx2 Mx+ = 0.0001 q.m x+ .Lx2	d m y- m yb- m y+ m yb+ m x- m x+	324 696 909 330 434 562 143	325 734 911 353 439 563 147	325 769 911 374 440 563 149	325 798 911 393 440 563 150	325 820 911 408 440 563 151	325 832 911 417 440 563 151
	D = 0.0001 d .Lx2 / (E.h3) My- = 0.0001 q.m y- .Lx2 My+ = 0.0001 q.m y+ .Lx2 Mx- = 0.0001 q.m x- .Lx2 Mxb = 0.0001 q.m x- .Lx2 Mx+ = 0.0001 q.m x+ .Lx2 Mxb+ = 0.0001 q.m x+ .Lx2	d m y- m y+ m x- m xb- m x+ m xb+	617 795 196 898 1310 459 661	895 973 227 1010 1560 508 769	1325 1210 260 1150 1890 556 889	2002 1540 292 1290 2280 596 1010	3070 1980 309 1430 2740 612 1110	4725 2570 295 1570 3250 612 1140
	D = 0.0001 d .Lx2 / (E.h3) My- = 0.0001 q.m y- .Lx2 Myb- = 0.0001 q.m y- .Lx2 My+ = 0.0001 q.m y+ .Lx2 Myb+ = 0.0001 q.m yb+ .Lx2 Mx- = 0.0001 q.m x- .Lx2 Mx+ = 0.0001 q.m x+ .Lx2	d m y- m yb- m y+ m yb+ m x- m x+	617 898 1310 459 661 795 196	640 968 1330 504 689 799 204	657 1040 1350 549 711 802 210	667 1110 1360 593 725 802 214	672 1160 1370 635 732 802 216	672 1210 1370 669 734 802 217
	D = 0.0001 d .Lx2 / (E.h3) My- = 0.0001 q.m y- .Lx2 My+ = 0.0001 q.m y+ .Lx2 Mx+ = 0.0001 q.m x+ .Lx2 Mxb+ = 0.0001 q.m x+ .Lx2	d m y- m y+ m x+ m xb+	1196 1170 269 605 949	1639 1410 298 640 1050	2270 1700 324 661 1140	3170 2070 337 661 1210	4440 2530 337 661 1220	6188 3090 337 661 1220
	D = 0.0001 d .Lx2 / (E.h3) My+ = 0.0001 q.m y+ .Lx2 Myb+ = 0.0001 q.m yb+ .Lx2 Mx- = 0.0001 q.m x- .Lx2 Mx+ = 0.0001 q.m x+ .Lx2	d m y+ m yb+ m x- m x+	1196 605 949 1170 269	1303 692 1040 1200 290	1404 785 1120 1220 310	1492 884 1190 1230 323	1561 985 1250 1230 332	1607 1080 1290 1230 336

TABLAS PARA DISEÑO DE LOSAS MACIZAS RECTANGULARES SUSTENTADAS PERIMETRALMENTE, SOMETIDAS A CARGAS DISTRIBUIDAS UNIFORMES

(m = 0.20)

Losa	Fórmula	Coef.	Lx / Ly
			1.00	0.90	0.80	0.70	0.60	0.50
	D = 0.0001 d .Lx2 / (E.h3) My+ = 0.0001 q.m y+ .Lx2 Mx+ = 0.0001 q.m x+ .Lx2 Mxb+ = 0.0001 q.m x+ .Lx2	d m y+ m x+ m xb+	1372 343 821 1090	1970 408 932 1270	2911 491 1060 1480	4448 592 1200 1720	7076 713 1370 2000	---- 855 1530 2300
	D = 0.0001 d .Lx2 / (E.h3) My+ = 0.0001 q.m y+ .Lx2 Myb+ = 0.0001 q.m yb+ .Lx2 Mx+ = 0.0001 q.m x+ .Lx2	d m y+ m yb+ m x+	1372 821 1090 343	1439 884 1150 352	1501 950 1200 358	1553 1020 1240 362	1594 1080 1280 365	1620 1150 1300 366
	D = 0.0001 d .Lx2 / (E.h3) My- = 0.0001 q.m y- .Lx2 Myb- = 0.0001 q.m y- .Lx2 Mx- = 0.0001 q.m x- .Lx2 Mxb- = 0.0001 q.m x- .Lx2	d m y- m yb- m x- m xb-	4697 1440 2970 1440 2970	5733 1680 3310 1500 3240	6973 1990 3670 1570 3520	8415 2380 4050 1640 3780	---- 2860 4420 1700 4000	---- 3430 4760 1740 4150

Simbología:

d : valor adimensional para determinar la deflexión máxima en la losa

D : deflexión máxima en la losa

Lx : longitud más corta de la losa rectangular

Ly : longitud más larga de la losa rectangular

E : módulo de elasticidad del hormigón

h : espesor de la losa maciza

q : carga uniformemente distribuida por unidad de superficie de losa

m_y- : valor adimensional para calcular momento flector negativo máximo alrededor del eje y

m_yb- : valor adimensional para calcular momento flector negativo máximo de borde libre alrededor del eje y

m_y+ : valor adimensional para calcular momento flector positivo máximo de tramo alrededor del eje y

m_yb+ : valor adimensional para calcular momento flector positivo máximo de borde libre alrededor del eje y

m_x- : valor adimensional para calcular momento flector negativo máximo alrededor del eje x

m_xb- : valor adimensional para calcular momento flector negativo máximo de borde libre alrededor del eje x

m_x+ : valor adimensional para calcular momento flector positivo máximo de tramo alrededor del eje x

m_xb+ : valor adimensional para calcular momento flector positivo máximo de borde libre alrededor del eje x

M_y- : momento flector negativo máximo alrededor del eje y, por metro de ancho de losa

M_yb- : momento flector negativo máximo de borde libre alrededor del eje y, por metro de ancho de losa

M_y+ : momento flector positivo máximo alrededor del eje y, por metro de ancho de losa

M_yb+ : momento flector positivo máximo de borde libre alrededor del eje y, por metro de ancho de losa

M_x- : momento flector negativo máximo alrededor del eje x, por metro de ancho de losa

M_xb- : momento flector negativo máximo de borde libre alrededor del eje x, por metro de ancho de losa

M_x+ : momento flector positivo máximo alrededor del eje x, por metro de ancho de losa

M_xb+ : momento flector positivo máximo de borde libre alrededor del eje x, por metro de ancho de losa

TABLAS PARA DISEÑO DE LOSAS NERVADAS RECTANGULARES SUSTENTADAS PERIMETRALMENTE, SOMETIDAS A CARGAS DISTRIBUIDAS UNIFORMES

Losa	Fórmula	Coef.	Lx / Ly
			1.00	0.90	0.80	0.70	0.60	0.50
	D = 0.0001 d .Lx2 / (E.h3) My- = 0.0001 q.m y- .Lx2 My+ = 0.0001 q.m y+ .Lx2 Mx- = 0.0001 q.m x- .Lx2 Mx+ = 0.0001 q.m x+ .Lx2	d m y- m y+ m x- m x+	200 564 258 564 258	241 659 319 577 242	281 752 378 574 208	315 830 428 559 157	336 878 459 538 126	339 887 464 520 123
	D = 0.0001 d .Lx2 / (E.h3) My- = 0.0001 q.m y- .Lx2 My+ = 0.0001 q.m y+ .Lx2 Mx- = 0.0001 q.m x- .Lx2 Mx+ = 0.0001 q.m x+ .Lx2	d m y- m y+ m x- m x+	265 597 269 718 354	347 736 362 779 368	443 899 473 819 359	545 1071 590 829 318	635 1222 694 808 239	691 1317 759 773 179
	D = 0.0001 d .Lx2 / (E.h3) My- = 0.0001 q.m y- .Lx2 My+ = 0.0001 q.m y+ .Lx2 Mx- = 0.0001 q.m x- .Lx2 Mx+ = 0.0001 q.m x+ .Lx2	d m y- m y+ m x- m x+	265 718 354 597 269	297 790 401 586 240	322 850 439 568 205	339 888 464 548 185	345 902 473 532 167	339 888 464 520 177
	D = 0.0001 d .Lx2 / (E.h3) My+ = 0.0001 q.m y+ .Lx2 Mx- = 0.0001 q.m x- .Lx2 Mx+ = 0.0001 q.m x+ .Lx2	d m y+ m x- m x+	323 231 853 440	456 340 985 498	644 496 1119 547	894 705 1232 566	1191 952 1288 525	1479 1191 1268 400
	D = 0.0001 d .Lx2 / (E.h3) My- = 0.0001 q.m y- .Lx2 My+ = 0.0001 q.m y+ .Lx2 Mx+ = 0.0001 q.m x+ .Lx2	d m y- m y+ m x+	323 853 440 231	340 891 465 199	351 914 481 183	354 921 485 174	348 909 477 165	335 878 458 178

Losa	Fórmula	Coef.	Lx / Ly
			1.00	0.90	0.80	0.70	0.60	0.50
	D = 0.0001 d .Lx2 / (E.h3) My- = 0.0001 q.m y- .Lx2 My+ = 0.0001 q.m y+ .Lx2 Mx- = 0.0001 q.m x- .Lx2 Mx+ = 0.0001 q.m x+ .Lx2	d m y- m y+ m x- m x+	200 564 258 564 258	241 659 319 577 242	281 752 378 574 208	315 830 428 559 157	336 878 459 538 126	339 887 464 520 123
	D = 0.0001 d .Lx2 / (E.h3) My- = 0.0001 q.m y- .Lx2 My+ = 0.0001 q.m y+ .Lx2 Mx- = 0.0001 q.m x- .Lx2 Mx+ = 0.0001 q.m x+ .Lx2	d m y- m y+ m x- m x+	265 597 269 718 354	347 736 362 779 368	443 899 473 819 359	545 1071 590 829 318	635 1222 694 808 239	691 1317 759 773 179
	D = 0.0001 d .Lx2 / (E.h3) My- = 0.0001 q.m y- .Lx2 My+ = 0.0001 q.m y+ .Lx2 Mx- = 0.0001 q.m x- .Lx2 Mx+ = 0.0001 q.m x+ .Lx2	d m y- m y+ m x- m x+	265 718 354 597 269	297 790 401 586 240	322 850 439 568 205	339 888 464 548 185	345 902 473 532 167	339 888 464 520 177
	D = 0.0001 d .Lx2 / (E.h3) My+ = 0.0001 q.m y+ .Lx2 Mx- = 0.0001 q.m x- .Lx2 Mx+ = 0.0001 q.m x+ .Lx2	d m y+ m x- m x+	323 231 853 440	456 340 985 498	644 496 1119 547	894 705 1232 566	1191 952 1288 525	1479 1191 1268 400
	D = 0.0001 d .Lx2 / (E.h3) My- = 0.0001 q.m y- .Lx2 My+ = 0.0001 q.m y+ .Lx2 Mx+ = 0.0001 q.m x+ .Lx2	d m y- m y+ m x+	323 853 440 231	340 891 465 199	351 914 481 183	354 921 485 174	348 909 477 165	335 878 458 178

TABLAS PARA DISEÑO DE LOSAS NERVADAS RECTANGULARES SUSTENTADAS PERIMETRALMENTE, SOMETIDAS A CARGAS DISTRIBUIDAS UNIFORMES

Losa	Fórmula	Coef.	Lx / Ly
			1.00	0.90	0.80	0.70	0.60	0.50
	D = 0.0001 d .Lx2 / (E.h3) My- = 0.0001 q.m y- .Lx2 My+ = 0.0001 q.m y+ .Lx2 Mx- = 0.0001 q.m x- .Lx2 Mx+ = 0.0001 q.m x+ .Lx2	d m y- m y+ m x- m x+	406 839 428 839 428	489 980 525 857 409	572 1120 621 852 369	644 1240 704 827 310	693 1323 761 793 271	712 1353 782 764 238
	D = 0.0001 d .Lx2 / (E.h3) My- = 0.0001 q.m y- .Lx2 My+ = 0.0001 q.m y+ .Lx2 Mx+ = 0.0001 q.m x+ .Lx2	d m y- m y+ m x+	569 1118 616 433	630 1220 687 375	681 1303 746 311	715 1360 785 269	729 1382 802 252	718 1364 790 238
	D = 0.0001 d .Lx2 / (E.h3) My+ = 0.0001 q.m y+ .Lx2 Mx- = 0.0001 q.m x- .Lx2 Mx+ = 0.0001 q.m x+ .Lx2	d m y+ m x- m x+	569 433 1118 616	754 587 1225 654	979 775 1304 659	1230 984 1334 615	1469 1183 1308 527	1644 1329 1246 434
	D = 0.0001 d .Lx2 / (E.h3) My+ = 0.0001 q.m y+ .Lx2 Mx+ = 0.0001 q.m x+ .Lx2	d m y+ m x+	969 765 765	1170 932 737	1371 1101 665	1550 1250 547	1684 1361 439	1749 1416 397

Simbología:

d :    valor adimensional para determinar la deflexión máxima en la losa

D :    deflexión máxima en la losa

Lx :    longitud más corta de la losa rectangular

Ly :    longitud más larga de la losa rectangular

E :    módulo de elasticidad del hormigón

h :    espesor de la losa maciza

q :    carga uniformemente distribuida por unidad de superficie de losa

m_y- : valor adimensional para calcular momento flector negativo máximo alrededor del eje y

m_yb- : valor adimensional para calcular momento flector negativo máximo de borde libre alrededor del eje y

m_y+ : valor adimensional para calcular momento flector positivo máximo de tramo alrededor del eje y

m_yb+ : valor adimensional para calcular momento flector positivo máximo de borde libre alrededor del eje y

m_x- : valor adimensional para calcular momento flector negativo máximo alrededor del eje x

m_xb- : valor adimensional para calcular momento flector negativo máximo de borde libre alrededor del eje x

m_x+ : valor adimensional para calcular momento flector positivo máximo de tramo alrededor del eje x

m_xb+ : valor adimensional para calcular momento flector positivo máximo de borde libre alrededor del eje x

M_y- :    momento flector negativo máximo alrededor del eje y, por metro de ancho de losa

M_yb- :    momento flector negativo máximo de borde libre alrededor del eje y, por metro de ancho de losa

M_y+ : momento flector positivo máximo alrededor del eje y, por metro de ancho de losa

M_yb+ : momento flector positivo máximo de borde libre alrededor del eje y, por metro de ancho de losa

M_x- : momento flector negativo máximo alrededor del eje x, por metro de ancho de losa

M_xb- : momento flector negativo máximo de borde libre alrededor del eje x, por metro de ancho de losa

M_x+ : momento flector positivo máximo alrededor del eje x, por metro de ancho de losa

M_xb+ : momento flector positivo máximo de borde libre alrededor del eje x, por metro de ancho de losa

EJEMPLO 7.2:

Diseñar las losas del edificio, cuya planta tipo se presenta a continuación, el mismo que será utilizado para oficinas. El hormigón empleado en la estructura tiene una resistencia f’c = 210 Kg/cm², y el esfuerzo de fluencia del acero es Fy = 4200 Kg/cm². El módulo de escaleras es independiente del bloque que se desea diseñar en este ejemplo.

Los pórticos 1, 2 y 3 del edificio, vistos en elevación, tienen la siguiente geometría:

Las losas de los niveles +2.50 y +5.00 estan sometidas a una carga viva de 250 Kg/m².

La losa del nivel +7.50 se considera inaccesible, por lo que está sometida a una carga viva menor de 150 Kg/m².

Los pórticos A, B, C y D del edificio, vistos en elevación, tienen la siguiente geometría:

Se selecciona un espesor tentativo de losa de 25 cm, para las tres plantas, con loseta de compresión de 5 cm., nervios de 10 cm de espesor y alivianamientos de bloque de hormigón de 40 cm x 40 cm, de 20 cm de altura ( 2 bloques de 40 x 20 x 20 por cada alivianamiento), lo que es tradicional en nuestro medio.

Control de Deflexiones:

El peralte equivalente de la losa nervada se calcula determinando la altura de una losa maciza que tenga la misma inercia que la losa nervada propuesta.

Se calcula el área de la viga T (1 nervio de la losa):

A = (5 cm x 50 cm) + (20 cm x 10 cm) = 450 cm²

Se calcula el momento que produce la viga T con respecto a su base:

M = [(5 cm x 50 cm) x 22.5 cm]+ [ (20 cm x 10 cm) x 10 cm] = 7625 cm³

Se calcula la posición del centro de gravedad de la viga T con relación a la base del alma:

Se calcula la inercia de la viga T con relación a su centro de gravedad:

I = 520.8333 + 7728.4 + 6666.6667 + 9632.72

I = 24548.62 cm⁴

La inercia de la viga de altura constante deber ser la misma que la inercia de la viga T:

h_equivalente = 18.06 cm

La ecuación básica, que define el peralte mínimo equivalente de la losa nervada es:

Se toma el panel 2-3-A-B, que es crítico para las deformaciones por tener las mayores luces (5 metros en las dos direcciones), y al mismo tiempo el menor número de lados con continuidad (dos de los cuatro lados son continuos):

Ln = 500 cm - 25 cm = 475 cm

Fy = 4200 Kg/cm²

Se calculan los valores a para los cuatro bordes de la losa:

Ejes A y 3:

E_viga.I_viga = (25) (40)³ / 12 = 133333 cm⁴

E_losa.I_losa = (250 - 12.5) (18.06)³ / 12 = 116583 cm⁴

a _A = a ₃ = 133333 / 116583 = 1.144

Eje B:

E_viga.I_viga = (25) (40)³ / 12 = 133333 cm⁴

E_losa.I_losa = (500 - 25) (18.06)³ / 12 = 233166 cm⁴

a _B = 133333 / 233166 = 0.572

Eje 2:

E_viga.I_viga = (25) (40)³ / 12 = 133333 cm⁴

E_losa.I_losa = (450 - 25) (18.06)³ / 12 = 208622 cm⁴

a ₂ = 133333 / 208622 = 0.639

Se calcula el valor de a _m :

a _m = (a _A + a _B + a ₂ + a ₃ ) / 4

a _m = (1.144 + 0.572 + 0.639 + 1.144) / 4 = 0.875

Se calcula el coeficiente b :

b = 475 / 475 = 1.00

Se calcula el coeficiente b _s:

b _s = (5.00 + 5.00) / (5.00 + 5.00 + 5.00 + 5.00)

b _s = 0.50

Se calcula el valor de h_mín:

h_mín = 13.78 cm

Se verifica el menor valor que puede tener h_mín:

h_mín ³ 12.00 cm

13.78 cm ³ 12.00 cm Þ h_mín = 13.78 cm

Se verifica el mayor valor que requiere tener h_mín:

h_mín £ 14.50 cm

13.78 cm £ 14.50 cm Þ h_mín = 13.78 cm

Se verifica que la altura equivalente de la losa nervada propuesta supere la altura mínima fijada por el código:

h_equivalente = 18.06 cm > 13.78 cm (OK)

Determinación de las Cargas de Diseño en losas niveles +2.50 y +5.00:

Peso loseta de compresión = 1.00 x 1.00 x 0.05 x 2400 = 120 Kg/m²

Peso nervios = 4 x 0.10 x 0.20 x 1.00 x 2400 = 192 Kg/m²

Alivianamientos = 8 x 12 = 96 Kg/m²

Peso Propio de la losa = 408 Kg/m²

Enlucido y masillado = 1.00 x 1.00 x 0.04 x 2200 = 88 Kg/m²

Recubrimiento de piso = 1.00 x 1.00 x 0.02 x 2200 = 44 Kg/m²

Mampostería = 200 Kg/m²

Carga Permanente = 740 Kg/m²

Carga Viva = 250 Kg/m²

Carga de Diseño

U = 1.4 D + 1.7 L = 1.4 (740) + 1.7 (250) = 1461 Kg/m²

Determinación de las Cargas de Diseño en Losa Nivel +7.50

D = 540 Kg/m² (excluida la mampostería)

L = 150 Kg/m² (losa inaccesible de cubierta )

U = 1.4 D + 1.7 L = 1.4 (540) + 1.7 (150) = 1011 Kg/m²

Modelos Estructurales de Losas para el Diseño a Flexión

Los coeficientes para diseño de la losa 1-2-A-B se obtienen del modelo 6 de las tablas para losas nervadas, considerando que la dirección más corta está en el sentido y, lo que significa que se deben intercambiar los valores tabulados de m_x y m_y.

Los coeficientes para diseño de la losa 1-2-B-C se obtienen del modelo 2 de las tablas para losas nervadas, considerando que la dirección más corta está en el sentido y, lo que significa que se deben intercambiar los valores tabulados de m_x y m_y.

Los coeficientes para diseño de la losa 2-3-A-B se obtienen del modelo 6 de las tablas para losas nervadas.

Los coeficientes para diseño de la losa 2-3-B-C se obtienen del modelo 2 de las tablas para losas nervadas, considerando un intercambio entre los ejes x, y de la tabla, por la posición de los ejes en la losa.

Determinación de Momentos Flectores de Diseño y Cálculo de la Armadura Requerida

TABLAS PARA EL DISEÑO DE LOSAS NIVELES +2.50, +5.00

q = 1461 Kg/m²

M = 0.0001 m . q . L_x²

Losa	Losa Tipo	Lx	Ly	Lx/Ly	my (- )	my (+)	mx (- )	mx (+)	Muy(- ) Kg-m/m	Muy(+) Kg-m/m	Mux(- ) Kg-m/m	Mux(+) Kg-m/m
1-2-A-B	6	4	5	0.80	852	369	1120	621	1992	863	2618	1452
1-2-B-C	2	4	5	0.80	819	359	899	473	1914	839	2102	1106
2-3-A-B	6	5	5	1.00	839	428	839	428	3064	1563	3064	1563
2-3-B-C	2	5	5	1.00	718	354	597	269	2622	1293	2181	983

Losa	Muy(- )	Muy(+)	Mux(- )	Mux(+)	Asy(- )	Asy(+)	Asx(- )	As(+)
	Kg-m/m	Kg-m/m	Kg-m/m	Kg-m/m	cm2/m	cm2/m	cm2/m	cm2/m
1-2-A-B	1992	863	2618	1452	2.74	1.11	3.70	1.87
1-2-B-C	1914	839	2102	1106	2.62	1.07	2.90	1.42
2-3-A-B	3064	1563	3064	1563	4.42	2.01	4.42	2.01
2-3-B-C	2622	1293	2181	983	3.71	1.66	3.02	1.26

TABLAS PARA EL DISEÑO DE LOSA NIVEL +7.50

q = 1011 Kg/m²

M = 0.0001 m . q . L_x²

Losa	Losa	Lx	Ly	Lx/Ly	my	my	mx	mx	Muy(- )	Muy(+)	Mux(- )	Mux(+)
	Tipo				(- )	(+)	(- )	(+)	Kg-m/m	Kg-m/m	Kg-m/m	Kg-m/m
1-2-A-B	6	4	5	0.80	852	369	1120	621	1378	597	1812	1005
1-2-B-C	2	4	5	0.80	819	359	899	473	1325	581	1454	765
2-3-A-B	6	5	5	1.00	839	428	839	428	2121	1082	2121	1082
2-3-B-C	2	5	5	1.00	718	354	597	269	1815	895	1509	680

Losa	Muy(- )	Muy(+)	Mux(- )	Mux(+)	Asy(- )	Asy(+)	Asx(- )	Asx(+)
	Kg-m/m	Kg-m/m	Kg-m/m	Kg-m/m	cm2/m	cm2/m	cm2/m	cm2/m
1-2-A-B	1378	597	1812	1005	1.85	0.76	2.47	1.29
1-2-B-C	1325	581	1454	765	1.77	0.74	1.95	0.98
2-3-A-B	2121	1082	2121	1082	2.93	1.39	2.93	1.39
2-3-B-C	1815	895	1509	680	2.47	1.15	2.03	0.87

Los ejes x - y de las tablas de diseño de losas sustentadas perimetralmente, no deben coincidir necesariamente con los ejes x - y del proyecto, pues de acuerdo a las convenciones empleadas, la dirección x en las tablas es la de menor dimensión de la losa.

La armadura mínima requerida en losas alivianadas es:

As_mín = 0.00333 (20 x 22) = 1.47 cm²/m

A continuación se presentan las tablas de armado modificadas tomando en consideración la armadura mínima requerida.

ARMADURA REQUERIDA EN LOSAS NIVELES +2.50, +5.00

Losa	Asy(- )	Asy(+)	Asx(- )	Asy(- )	Asx(+)	Asy(+)	Asx(- )	Asx(+)
	cm2/m	cm2/m	cm2/m	cm2/nervio	cm2/m	cm2/nervio	cm2/nervio	cm2/nervio
1-2-A-B	2.74	*1.47	3.70	1.37= 1 f 14 mm	1.87	*0.74= 1 f 10 mm	1.85= 1 f 16 mm	0.94= 1 f 12 mm
1-2-B-C	2.62	*1.47	2.90	1.31= 1 f 14 mm	*1.47	*0.74= 1 f 10 mm	1.45= 1 f 14 mm	*0.74= 1 f 10 mm
2-3-A-B	4.42	2.01	4.42	2.21= 1 f 18 mm	2.01	1.01= 1 f 12 mm	2.21= 1 f 18 mm	1.01= 1 f 12 mm
2-3-B-C	3.71	1.66	3.02	1.86= 1 f 16 mm	*1.47	0.83= 1 f 12 mm	1.51= 1 f 14 mm	*0.74= 1 f 10 mm

ARMADURA REQUERIDA EN LOSA NIVEL +7.50

Losa	Asy(- )	Asy(+)	Asx(- )	Asx(+)	Asy(- )	Asy(+)	Asx(- )	Asx(+)
	cm2/m	cm2/m	cm2/m	cm2/m	cm2/nervio	cm2/nervio	cm2/nervio	cm2/nervio
1-2-A-B	1.85	*1.47	2.47	*1.47	0.93= 1 f 12 mm	*0.74= 1 f 10 mm	1.24= 1 f 14 mm	*0.74= 1 f 10 mm
1-2-B-C	1.77	*1.47	1.95	*1.47	0.89= 1 f 12 mm	*0.74= 1 f 10 mm	0.98= 1 f 12 mm	*0.74= 1 f 10 mm
2-3-A-B	2.93	*1.47	2.93	*1.47	1.47= 1 f 14 mm	*0.74= 1 f 10 mm	1.47= 1 f 14 mm	*0.74= 1 f 10 mm
2-3-B-C	2.47	*1.47	2.03	*1.47	1.24= 1 f 14 mm	*0.74= 1 f 10 mm	1.02= 1 f 12 mm	*0.74= 1 f 10 mm

A continuación se presenta un armado tipo de las losas del edificio, que se ajusta a las tablas anteriores.

RMADURA EN LOSAS NIVELES +2.50, +5.00


ARMADURA EN LOSA NIVEL +7.50

Verificación de la Resistencia a Cortante:
De acuerdo con la experimentación en que se basa la Teoría de las Líneas de Rotura, cuando una losa rectangular, sustentada en todo su perímetro sobre vigas de mayor peralte y sometida a una carga uniformemente distribuida que actúa en toda su superficie, se encuentra al borde del colapso, se fisura conformando triángulos y trapecios.

Bajo este estado límite, las fuerzas cortantes que generan las cargas que actúan en los trángulos y trapecios se transmiten directamente a las vigas en las que se sustentan los respectivos triángulos y trapecios.

Las losas deben estar en capacidad de resistir las fuerzas cortantes generadas por este tipo de comportamiento.

Las secciones críticas de las losas, para el diseño a cortante, se ubican en los sectores de ordenada máxima de los triángulos y trapecios, proximos a las vigas de apoyo.

Las cargas que solicitan las secciones de cortante crítico son aquellas que actúan sobre zonas ortogonales limitadas por la línea de cortante crítico y la línea de fisuración intermedia de la losa.

Verificación a Cortante de las Losas de 5.00 m x 5.00 m de los Niveles +2.50 y +5.00:
Se toma la sección de diseño con ancho unitario (un metro de ancho). La carga última superficial es:
q_U = 1461 Kg/m²
La sección de diseño está ubicada a 25 cm de la cara de la viga; la cara de la viga está ubicada a 12.5 cm del eje de la viga, por lo que la sección de diseño se ubica a 37.5 cm del eje de la viga.

La fuerza cortante que actúa sobre un metro de ancho de la zona crítica a cortante es:
V_u = 1.00 m x 2.125 m x 1475 Kg/m²
V_u = 3134 Kg
En un metro de losa se dispone de dos nervios de 10 cm de ancho (ancho total = 20 cm), por lo que el esfuerzo cortante último es:


v_u = 8.38 Kg/ cm²

El esfuerzo cortante que puede soportar el hormigón es:

v_c = 7.25 Kg/cm²

La sección transversal no es suficiente para resistir las fuerzas cortantes. Como solución se puede incrementar el ancho de los nervios en la fila perimetral de alivianamientos, colocando un solo bloque de 20 cm x 40 cm x 20 cm en cada alivianamiento.

El ancho efectivo de los nervios se incrementa de 20 cm a 60 cm con lo que la capacidad resistente se triplica. El incremento de peso es mínimo, por lo que no es necesario realizar un recálculo de cargas.


v_u = 2.79 Kg/ cm² (O.K.)
Una segunda zona crítica a cortante se produce a 80 cm del eje de las vigas, donde los nervios siguen manteniendo los 10 cm de ancho (20 cm de ancho por metro).

La fuerza cortante que actúa sobre un metro de ancho de la segunda zona crítica a cortante es:
V_u = 1.00 m x 1.70 m x 1475 Kg/m²
V_u = 2508 Kg
El esfuerzo cortante último es:

v_u = 6.71 Kg/ cm²

v_u < v_c (O.K.)
El esfuerzo cortante último es inferior a la capacidad resistente del hormigón por lo que no se requiere de ningún cambio adicional en las dimensiones de los alivianamientos.
Verificación a Cortante de las Losas de 4.00 m x 5.00 m de los Niveles +2.50 y +5.00:

La fuerza cortante que actúa sobre un metro de ancho de la zona crítica a cortante es:
V_u = 1.00 m x 1..625 m x 1475 Kg/m²
V_u = 2397 Kg
El esfuerzo cortante último es:

v_u = 6.41 Kg/ cm²
v_u < v_c (O.K.)
El esfuerzo cortante último es inferior a la capacidad resistente del hormigón por lo que no se requiere ningún cambio en las dimensiones de los alivianamientos.
Verificación a Cortante de las Losas de 5.00 m x 5.00 m del Nivel +7.50:
q_U = 1011 Kg/m²

La fuerza cortante para un metro de ancho es:
V_u = 1.00 m x 2.125 m x 1011 Kg/m²
V_u = 2148 Kg
El esfuerzo cortante es:

v_u = 5.74 Kg/ cm²
v_u < v_c (O.K.)
El esfuerzo cortante último es inferior a la capacidad resistente del hormigón por lo que no se requiere ningún cambio en las dimensiones de los alivianamientos.
La losa de 4.00 m x 5.00 m del nivel +7.00 tampoco requiere ningún cambio.
Armadura de Temperatura y Retracción de Fraguado:
Para absorber los esfuerzos generados en el hormigón de la loseta de compresión, por concepto de cambios de temperatura y retracción de fraguado, y permitir un control eficiente de la fisuración, se puede utilizar una malla electrosoldada con esfuerzo de fluencia Fy = 2800 Kg/cm², requiriéndose la siguiente armadura mínima en las dos direcciones:
r _mín = 0.0020
As_mín = r _mín . b . d
As_mín = (0.0020) (100 cm) (2.5 cm)
As_mín = 0.50 cm² por metro de ancho
El máximo espaciamiento entre alambres de la malla electrosoldada es 5 veces el espesor de la loseta o 45 cm, el que sea menor:
e_máx = 5 (5 cm) = 25 cm
e_máx £ 45 cm
e_máx = 25 cm
Se puede escoger una malla con alambres de 4 mm de diámetro espaciados cada 25 cm, que debe colocarse a media altura en la loseta de compresión.

ARMADURA Y DISTRIBUCION DE ALIVIANAMIENTOS EN LOSAS NIVELES +2.50, +5.00

ARMADURA Y DISTRIBUCION DE ALIVIANAMIENTOS EN LOSA NIVEL +7.50

7.6 REFERENCIAS:

7.1 G. Winter y A. Nilson, Proyecto de Estructuras de Hormigón, Editorial Reverté, S.A.
7.2 P. Jiménez, A. García y F. Morán, Hormigón Armado, Mateu Cromo, Artes Gráficas, S. A.
7.3 R. Park y W. Gamble, Losas de Concreto Reforzado, Editorial LIMUSA S. A.
7.4 R. Park y T. Pauley, Estructuras de Concreto Reforzado, Editorial LIMUSA S. A.
7.5 "Building Code Requirements for Reinforced Concrete", American Concrete Institute.
7.6 "Código Ecuatoriano de la Construcción", Instituto Ecuatoriano de Normalización.